Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

Anterior Siguiente

6. Sea $f(x)=\frac{x}{5 x^{2}+a}$. Hallar $a \in \mathbb{R}$ para que la recta tangente al grafico de $f$ en el punto de abscisa $x_{0}=-1$ sea horizontal.

Respuesta

Nuevamente tenemos el segundo tipo de ejercicio sobre recta tangente que te conté que te pueden tomar: Hallar una incógnita distinta de $x$. Si no te acordás de ésto andá a ver los videos de recta tangente.  ¡Bueno, empecemos! Para que la recta tangente al gráfico de la función $f(x) = \frac{x}{5x^2 + a}$ en el punto de abscisa $x_0 = -1$ sea horizontal, la pendiente de la recta tangente debe ser cero. La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado es igual a la derivada de la función en ese punto.
Entonces primero calculemos la derivada de $f(x)$:


$ f'(x) = \frac{(1)(5x^2 + a) - (x)(10x)}{(5x^2 + a)^2} $

$ f'(x) = \frac{5x^2 + a - 10x^2}{(5x^2 + a)^2} $

$ f'(x) = \frac{-5x^2 + a}{(5x^2 + a)^2} $


Ahora, necesitamos que la derivada sea cero cuando $x = x_0 = -1$:

$ f'(-1) = \frac{-5(-1)^2 + a}{(5(-1)^2 + a)^2} = 0 $


$ \frac{-5 . 1 + a}{(5 . 1 + a)^2} = 0 $

$ \frac{-5 + a}{(5 + a)^2} = 0 $


Para que el numerador de una fracción sea cero (mientras el denominador no sea cero porque NUNCA UN DENOMINADOR PUEDE SER CERO), solo puede ocurrir que el numerador sea igual a cero. Por lo tanto, establecemos el numerador igual a cero para encontrar el valor de $a$:

$ -5 + a = 0 $

$ a = 5 $
Entonces, $a$ debe ser igual a $5$ para que la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto de abscisa $x_0 = -1$ sea horizontal.
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Anahi 12 de junio 20:02
Porque me da -5 no entiendo 
Avatar Julieta Profesor 13 de junio 15:48
@Anahi Hola Anahí! Estás re cerquita del resultado!! Revisá bien las cuentas, quizás sea algún signo o un número que pasaste mal del otro lado del igual. Ojo al despejar, porque si vos tenés: 

$-5 + a = 0$, te conviene pasar el -5 del otro lado: 

$a = 5$

Quizás vos pasate la $a$ del otro lado, pero ahí ojo que pasa con signo negativo:

$-5 + a = 0$

$-5 = -a$

$\frac{-5}{-1} = a$ 

$5 = a$
Avatar Mallo 27 de octubre 15:50
hola profe, hay algo que no entiendo, cuando igualamos a 0 y despejamos a que pasa con el denominador ? no entendi esa parte 
Avatar Julieta Profesor 31 de octubre 12:14
@Mallo Podés pensar que el denominador pasa del otro lado del = multiplicando al cero y que por eso se hace cero. O bien, recordar que un denominador nunca puede ser cero, así que la única opción posible para que una división de cero es que su numerador sea cero.
Avatar Oriana 29 de junio 18:22
Hola profe, no entiendo porque el ultimo 10x a la 2 que queda restando desaparece en el ultimo paso
Avatar Julieta Profesor 10 de julio 16:28
@Oriana Ori, es porque haces la cuenta en el numerador, tenés dos términos con $x^2$. Entonces tenés $5x^2-10x^2$ y eso te da $-5x^2$
Avatar Zoe 27 de junio 17:18
pero 5 al cuadrado da 25 en el denominador, me queda en -1/5 si lo simplifico... "-5/25" o ignoramos la cuenta y directamente me centro en hacer el numerador -5 + a = a = 5 = -5 + 5 = 0 ?
Avatar Julieta Profesor 10 de julio 16:27
@Zoe Hola Zoe, ay no entiendo a qué parte te referís. 
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse